Que es un triangulo oblicuángulo?
Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados
Ley de los senos :
La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Ley de los cosenos:
La ley de los cosenos establece que c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.
Igualmente,
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = c2 + a2 - 2ca cos B
Ley de las tangentes:
Supóngase que a, b, c representan las longitudes de los tres lados de un triángulo y A, B, C representan los ángulos opuestos a estos tres lados. Entonces la ley de las tangentes establece que
(a-b)/(a+b) = tan[(1/2)(A-B)]/tan[(1/2)(A+B)]
(b-c)/(b+c) = tan[(1/2)(B-C)]/tan[(1/2)(B+C)]
(c-a)/(c+a) = tan[(1/2)(C-A)]/tan[(1/2)(C+A)]
5 aplicaciones en la vida
*Resuelva el triángulo que tiene los siguientes valores: γ = 60º, b = 3, a = 2.
Sustituyendo en la ley de los cosenos,
c2 = (2)2 + (3)2 – 2(2)(3) cos 60º
= 4 + 9 – 12 cos 60º
= 13 – 12 (0.5) = 13 – 6 = 7
c = = 2.64
*Utilizando otra ley de cosenos para obtener α
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
(2)2 = (3)2 + (2.64)2 – 2(3)(2.64) cos α
4 = 9 + 7 – 15.84 cos α = 16 – 15.84 cos α
Cuáles son las funciones trigonométricas?
Las funciones trigonométricas de ángulos agudos son seis, a saber: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; se abrevian sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente. Y son aplicables a los ángulos agudos de un triángulo rectágulo (tiene un ángulo recto). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos y forman el ángulo recto, si tenemos un ángulo recto a la derecha de un triángulo y el ángulo agudo agudo A a la izquierda, el cateto de la base se llama adyacente y el que está enfrente opuesto.
Si queremos definir las funciones trigonométricas en función de estos lados, son asï: sen A = cat opuesto/hipotenusa
cos A = cat adyacente/hipotenusa
tan A = cat opuesto/cat adyacente
cot A = cat adyacente/cat opuesto
sec A = hipotenusa/cat adyacente
csc A = hipotenusa/cat opuesto
Nota que las tres últimas son inversas de las tres primeras
5 aplicaciones de las leyes trigonométricas
Que es trigonometría?
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
5 aplicaciones
domingo, 8 de mayo de 2011
domingo, 20 de marzo de 2011
Que es la fuincion y el logaritmos
QUE ES UNA FUNCION?
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .
Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio
TIPOS DE FUNCIONES
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.
'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación
.
• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
QUE ES UN LOGARITMO?
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.
(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y solo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")
• La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .
• x tiene que ser un número positivo (x > 0).
• n puede ser cualquier número real .
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: 103 = 1000 luego Log101000 = 3.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre eu > 0 (o 10u > 0) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer eu = x cuando x < 0, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la formula de Euler.
2. El logaritmo de su base es 1. Así logbb = 1 ya que b1 = b.
3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así logb1 = 0 ya que b0 = 1.
4. Si 0
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
• Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
• Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que Log101 = 0 y Log1010 = 1 entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o codomf
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .
Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio
TIPOS DE FUNCIONES
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.
'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación
.
• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
QUE ES UN LOGARITMO?
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.
(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y solo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")
• La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .
• x tiene que ser un número positivo (x > 0).
• n puede ser cualquier número real .
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: 103 = 1000 luego Log101000 = 3.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre eu > 0 (o 10u > 0) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer eu = x cuando x < 0, sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la formula de Euler.
2. El logaritmo de su base es 1. Así logbb = 1 ya que b1 = b.
3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así logb1 = 0 ya que b0 = 1.
4. Si 0
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.
• Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
• Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).
1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que Log101 = 0 y Log1010 = 1 entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
domingo, 27 de febrero de 2011
domingo, 20 de febrero de 2011
Ecuacion de la Circunferencia
Traza las siguientes circunferencias y encuentra su ecuación en su forma general y ordinaria.
C (4,5) r=4
C (3,-2) r=5
C (0,-1) r=2
C (-3,0) r=1
C (-3,0) r=1
c(-3/4,-2)r=6
C(-4,-2) r=2
c(5,-1)r=1/2
c(2,1)r=
c(1/4,7/5)r=7
C (4,5) r=4C (3,-2) r=5
C (0,-1) r=2
C (-3,0) r=1
C (-3,0) r=1
c(-3/4,-2)r=6
C(-4,-2) r=2
c(5,-1)r=1/2
c(2,1)r=
c(1/4,7/5)r=7
Ecuacion de la Circunferencia
c(5,2)r=6
c(-3,-6)r=5
c(3,-2)r=4
c(5,5)r=2
c(-2,-7)r=10
c(-5,-8)r=2
c(-2,6)r=3
c(2,0)r=4
c(-3,-6)r=5
c(3,-2)r=4
c(5,5)r=2
c(-2,-7)r=10
c(-5,-8)r=2
c(-2,6)r=3
c(2,0)r=4
viernes, 4 de febrero de 2011
Circunferencia
¿QUE ES UNA CIRCUNFERENCIA?
En lo que resta de este capítulo así como el capitulo 5 se estudiaron las propiedades de una clase importante de lugares geométricos llamados secciones cónicos. Las circunferencias parábolas, elipses, hipérbolas son ejemplos de secciones cónica y se discutieron en el capitulo 5.
Al estudiar geometría plana se ve que una circunferencia es el lugar geométrica de todos los puntos del plano que están a una distancia dada de un punto dado.
Al segmento cuyas extremos son el centro del círculo y a un punto de la circunferencia se llama segmento radial de la circunferencia.
PARTES DE LA CIRCUNFERENCIA.
Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: segmento que une 2 puntos de la circunferencia pasando por el centro.
Cuerda: segmento que une 2 puntos de la circunferencia.
Secante: recta que corta en 2 puntos la circunferencia.
Tangente: recta que toca en un punto a la circunferencia.
5 ejemplos de circunferencia en la vida cotidiana.
En lo que resta de este capítulo así como el capitulo 5 se estudiaron las propiedades de una clase importante de lugares geométricos llamados secciones cónicos. Las circunferencias parábolas, elipses, hipérbolas son ejemplos de secciones cónica y se discutieron en el capitulo 5.
Al estudiar geometría plana se ve que una circunferencia es el lugar geométrica de todos los puntos del plano que están a una distancia dada de un punto dado.
Al segmento cuyas extremos son el centro del círculo y a un punto de la circunferencia se llama segmento radial de la circunferencia.
PARTES DE LA CIRCUNFERENCIA.
Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: segmento que une 2 puntos de la circunferencia pasando por el centro.
Cuerda: segmento que une 2 puntos de la circunferencia.
Secante: recta que corta en 2 puntos la circunferencia.
Tangente: recta que toca en un punto a la circunferencia.
5 ejemplos de circunferencia en la vida cotidiana.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
